Differentialgleichung

[baracuda]

Ich hab am Montag Prüfung und diese blöden Differentialgleichungen wurmen mich wie blöd.

Die Beschleunigung einer Kugel in einem Computerspiel sei gegeben durch die Differentialgleichung
s''(t) = 2t
(a) Interpretieren Sie die Differentialgleichung (Ordnung, explizit/implizit, homogen/inhomogen),
jeweils mit einem Begründungssatz.
(b) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Wieviel freie Parameter hat sie?
(c) Lösen Sie die Differentialgleichung für die Anfangsbedingungen s(0) = 5, s'(0) = 3 .

Aufgabenteil a) ist ja noch schlichtes Erkennen, das wird sich schon irgendwie machen lassen, aber was man dann bei b) ansetzen muss ist für mich ein echtes Problem, zumal die Gleichung ja recht einfach ausschaut.
Bei c) hörts dann ganz auf, hoffe jemand kann mir den Kram näher bringen

 

[ahits]

s''(t) ist ja die 2. Ableitung der Gleichung s(t).
Ich würde dann also erstmal einfach aufleiten, sprich das Gegenteil von ableiten.
wäre
s'(t) = t^2 + q
(q ist irgendne reele Zahl, weiss nicht was du da fürn Buchstaben benutzt)
s(t) = 1/3 t^3 + qt + z
puh alles lange her, ka ob so richtig^^

für c) wär s(0)=5 also 5 = 1/3 0^3 + 0q + z
also z = 5
für s'(0) = 3 wär 3 = 0^2 + q
also q = 3

also wär die ursprungsgleichung für die genannten fälle
s(t) = 1/3 t^3 + 3t + 5

damit wäre c) gelöst,
zu a) kann ich dann noch sagen dass es eine Gleichung der 3. Ordnung ist (weil t^3), den Rest auch ka mehr
b) ist praktisch durch c) auch errechnet, allgemeine Lösung ist s(t)= 1/3 t^3 + qt + z
Was genau istn Parameter? q und z, also wärns 2? weiss ich nicht mehr so genau

Ok,
also letztendlich war das von mir nur mal nen Versuch, ist alles ewig her, erklärn kann ichs kaum noch und ob das richtig ist was ich gemacht hab weiss ich auch nicht, soll ma lieber doch jemand anderes versuchen der da aktuell im Thema ist inna Schule oder Studium

Aber vielleicht hab ich dir auch irgendwo guten Denkanstoss geben können, ka^^

 

[Golan]

Mal so als Ergänzung zu ahits, er hatte wirklich schon das wichtigste.
Wenn du in einer Diff'Gl nur eine einzelne Ableitung hast, ist es eigentlich immer am einfachsten, eine Variablentrennung zu machen und dann zu integrieren. Wenn man die Schreibweise dⁿs/dtⁿ statt s'' verwendet hat man hier eine einfach Merkbrücke zum "Umformen"; an deinem Beispiel wäre das:

s''= d²s/dt² = 2t
=> d²s = 2t dt² (Variablen trennen)
=> ∬d ds = ∬2t dt dt (Integrieren)

=> ∫ ds = ∫ ( t² + c₁ ) dt
=> s = ¹/₃ t³ + c₁ t + c₂

Das wäre jetzt die allgemeine Lösung, da die für jedes c₁ und c₂ eine Lösung ist. "Freie Parameter" sind ebenjene durch's Integrieren neu eingeführten Variablen c₁ und c₂, also gibt's hier zwei.

Wenn du bereits eine allgemeine Lösung kennst und dann eine spezielle Lösung für bestimmte Anfangswerte finden sollst geht das leicht über simples, stupides einsetzen wie es ahits gezeigt hat. Einfach immer wieder die Frage stellen "was hab ich, was weiß ich, was brauch ich" - z.B. brauchst du die Variable c₁, kennst bereits die Gleichung s'(t) in der sie als eine von drei Variablen (s', t, c₁ ) vorkommt und hast jetzt die anderen Variablen schon gegeben.
Also einfach:
Gegeben: s'(0) = 5 und s'(t) = t² + c₁
=> 0² + c₁ = 5 => c₁ = 5

Da beim Integrieren pro Schritt eine Variable dazukommt, rollt man solche Gleichungssysteme am besten von unten her auf.

 

[skep1l]

Die Ordnung hat nichts mit dem Grad des Polynoms hier zu tun, sondern ist im Allgemeinen einfach die höchste vorkommende Ableitung. Hier also 2. Ordnung, weil s''(t) vorkommt.

Zudem spricht man von explizit, wenn die Gleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst wurde. Implizit wäre wenn es in der Form f(x,y,z,ableitungen jeweils) = 0 dastehen würde.

Bin der Meinung habs verwechselt, aber homogen bedeutet einfach = 0 - müsst ich selber nachlesen

 

[baracuda]

Muah ihr seid toll, ich hab da mit 4 Kommilitonen dran gehangen und wir haben nur Bahnhof aus unseren Büchern gelesen^^
Warum nur müssen Mathe Bücher so kompliziert geschrieben sein, dass man nur was versteht wenn man das entsprechende Thema auch studiert hat?

 

[skep1l]

Die Art von DGL kommt doch sogar schon aufm Gymnasium dran

 

[baracuda]

Ich hab Fachabbi gemacht und das Thema ham wir nicht durch genommen, alles was ich in Mathe schonmal hatte is ja auch kein Problem für mich, aber wenn ich was nich ordentlich erklärt bekomme, was im Studium definitiv der Fall ist, hab ich so meine Schwierigkeiten mit manchem Stoff.

 

[Golan]

baracuda, was studierst du denn und was für ne Prüfung (mündl, schriftl) ist das? Nur so, je nachdem was von dir verlangt wird ist der Ansatz den wir hier verwendet haben nicht gerade die optimale Strategie, um Diff'Gl zu lösen. Gerade bei komplexeren Problemen landet man damit schnell auf der Nase.

 

[skep1l]

wenn es bei dieser Schwierigkeit bleibt, sollte der Ansatz mit Variablentrennung allerdings kein Problem sein.

 

[baracuda]

Ich studier Medieninformatik und es ist ne schriftliche Prüfung.
Die Aufgabe die ich oben gestellt habe stammt btw aus einer älteren Prüfung und wir nehmen an(!), dass sowas als DGL Aufgabe in die jetzige Prüfung wandert.
Neben Statistik ist das eigentlich meine größte Sorge gewesen.
Komplexe Zahlen, Präfix-, Huffmancode, Kombinatorik und Graphentheorie sind da gut verständlich imo.

 

[baracuda]

Omg ich muss euch schon wieder belästigen...
Ich bekomme einfach nicht vernünftig raus wie ich y'(x) + 2y(x) = 6 mache.
Es ist ja eine Gleichung 1. Ordnung, implizit und inhomogen, da sie ein Störglied g(x) = 6 besitzt. Jetzt gibt es im schlauen Buch Lösungsansätze, und zwar steht da dass man die inhomogene DGL über die zugehörige homogene DGL lösen kann, also:
y`+f(x)y = 0 |Trennung der Variablen
y = C*e^-∫f(x)dx
Leider bekomme ich in diesem Fall nix gescheites raus.

In der Prüfungsfrage wird ein Ansatz gegeben:
Hinweis: Benutzen Sie den Ansatz y(x) = 3 + ae^phi*x

Jedoch taucht der in einer ähnlichen Aufgabe auf den Übungsblättern nicht auf und das macht mich ganz Wuschig.

Ich habs nu mithilfe eines Physikstudenten in den Griff bekommen, hab den inhomogenen Teil der Gleichung nicht gerafft gehabt.
Da g(x) ne Konstante darstellt, muss man diese einfach addieren.
heraus kommt dann y = 3+ e^(-2x) als allgemeine und y=6e^(-2x+2)+3 als spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.

 

[Golan]

Eine DGL der Art

y⁽ⁿ⁾(x) + β y(x) = 0

lässt sich immer gut mit einer e-Fkt (bzw. sin/cos) lösen, da die sich einfach immer wieder reproduziert. y = exp(λx) liefert als n'te Ableitung immer y⁽ⁿ⁾ = λⁿ exp(λx) = λⁿ y.
Damit wird die DGL dann zu

λⁿ y + β y = 0
=> (λⁿ + β) y = 0
=> λⁿ = -β (da exp(λx) ≠ 0 ∀x∈R)


Wenn man das ein paar mal gemacht hat kann man solche DGL durch "draufschauen" lösen - n=1, β=2 heißt λ=-2. Im Zweifelsfall reicht es allerdings, sich den Ansatz y = exp(λx) zu merken.
Damit hätte man dann hier auch schnell den homogenen Teil bestimmt zu
yhom = exp(-2x)


Zur partikulären Lösung: Ist eine DGL von der Art

∑ an y⁽ⁿ⁾ = ∑ bm xᵐ (n,m∈N)
(Bsp: 4 y'' + 2 y' + y = x² + 4x )

sprich (mehrere) unterschiedliche Ableitungen von y(x) sind gleich (mehreren) unterschiedlichen Potenzen von x, kann man direkt genauso zurückfeuern. Da beim Ableiten die Potenz jeweils um eins zurückgeht, muss y als höchste Potenz von x ein xᵐ haben. Niedrigere Potenzen von x können durchaus vorkommen, weil sich diese bei den Ableitungen gegenseitig aufheben könnten. Also geht man per Brute Force erstmal davon aus, dass y ebenfalls eine Reihe von Potenzen von x ist, also y = ∑ cm xᵐ. Damit lassen sich natürlich auch die Ableitungen von y theoretisch ausrechnen, womit dann in der ursprünglichen DGL ein Koeffizientenvergleich durchgeführt werden kann.
Oder um es anschaulich zu machen, hier mal am Beispiel von oben:

x² ist die höchste Potenz, also nimmt man den Ansatz
y = c₂ x² + c₁ x + c₀
=> y' = 2c₂ x + c₁
=> y'' = 2c₂

Das wird stupide der ursprünglichen Gleichung in de Bobbo gstopft:
4 (2c₂) + 2(2c₂ x + c₁) + (c₂ x² + c₁ x + c₀) = x² + 4x
=> c₂ x² + (4 c₂ + c₁) x + (c₀ + 2c₁ + 8c₂) = 1x² + 4x + 0

=> c₂ = 1
=> (4 c₂ + c₁) = 4 => c₁ = 0
=> (c₀ + 2c₁ + 8c₂) = 0 => c₀ = -8

=> y = x² - 8

Nun, warum steht das ganze Geschwafel hier, wenn dein Problem doch viel einfacher war? Es steckt der gleiche Gedankengang dahinter, egal ob x²³⁵ oder x⁰ = 1 die höchste Potenz ist. Sobald das Ergebnis deiner inhomogenen DGL eine Konstante ist, setz' deine Funktion direkt gleich dieser Konstanten (durchkürzen nicht vergessen).

=> ypar = 3

=> y = α yhom + ypar = α exp(-2x) + 3