vektorieller Beweis des Satz des Pythagoras

[James]

Wollte mal erfragen, bo folgendes Beweis überhaupt ein gültiger Beweis ist ... da bin ich mir sehr im Unklaren :/

mit a,b und c meine ich im folgenden Vektoren

c = Hypotenuse
a und b = Katheten

folglich

(I) a + b = c
und
(II) a * b = 0

z.Z.: a² + b² = c²

Durch Quadrieren von (I) ergibt sich:

(a + b)² = c²
a² + 2ab + b² = c²

Wegen (II) fällt 2ab aus der Gleichung raus und man kommt auf das zu Zeigende.

Ist das nun akzeptabel, oder nicht? Und falls nicht, kann man den Satz vektoriell überhaupt beweisen?

 

[stefros]

Jo, nice Beweis. ^^
Wenn du jetzt noch ein beliebiges Dreieck ansetzt kommst du auf den Cosinus-Satz.
Dieser ist wesentlich allgemeiner und der Beweis durch Vektoren allgemein üblich.

 

[James]

Den Cosinus-Satz zu beweisen probiere ich dann später mal ... oder morgen

thx für die schnelle Antwort

€: Ah, könnte ich den Satz des Pythagoras dann einfach vorraussetzen um den Cosinus-Satz zu beweisen?

 

[Liontiger]

würd ich eher nicht sagen, der Satz des Pythagoras ist ja im Prinzip nur ein Spezialfall des Cosinus-Satzes ^^
wenn du den beweist hast du den Pythagoras mitbewiesen im Prinzip, aber umgekehrt eher nicht

 

[stefros]

Der Beweis ist ähnlich, nur daß eine Vorraussetzung weg fällt.

 

[James]

naja, aber ohne die Vorraussetzung a*b = 0 funktioniert das Ganze aber nicht mehr, weil man nur noch die Vorraussetzung a + b = c

 

[Osbes]

Du nimmst hier für a * b einen Sonderfall.
Es ist ja nur deswegen 0, weil du dort 90° hast.

Du kannst aber auch einfach alle mög. Winkel zulassen und es somit allg. formulieren.
Dann brauchst du auch kein a * b = 0

Und a + b = c ist eigentlich keine Vorraussetzung, sondern nur eine Substitution.
Im allg. Fall muss man es immer aus der reinen Definition heraus beweisen können - ohne irgendwelche Vorraussetzungen.

 

[baboon]

Das Off mutiert langsam aber sicher zum Mathe - Forum...

 

[James]

Du nimmst hier für a * b einen Sonderfall.
Es ist ja nur deswegen 0, weil du dort 90° hast.

Du kannst aber auch einfach alle mög. Winkel zulassen und es somit allg. formulieren.
Dann brauchst du auch kein a * b = 0

Und a + b = c ist eigentlich keine Vorraussetzung, sondern nur eine Substitution.
Im allg. Fall muss man es immer aus der reinen Definition heraus beweisen können - ohne irgendwelche Vorraussetzungen.

Aber ich brauche doch irgendwelche Vorraussetzungen, wenn ich was beweisen will.

Wenn ich zum Beispiel diesen Satz beweisen will, dann ist doch eben die Vorraussetzung a * b = 0 weil ich ein rechtwinkliges Dreieck vor mir habe.

Es kann aber natürlich auch sein, dass ich nicht genau weiß, was du eigtl meinst und worauf du hinaus willst