Matrix E

[Liang Hu (BBB)]

A * A = A^2

aber wieso ist nicht E * E = E^2 ,sondern nur E?
Trifft das bei einer Einheitsmatrix nicht zu?

Danke im Voraus.

 

[stefros]

Weil E² = E, die Einheitsmatrix hat die Eigenschaften eines Projektors.

 

[Osbes]

Das Quadrat einer Diagonalmatrix ist immer das Quadrat der Diagonaleinträge.

Bsp.:

/ a 0 0 0 0 \^2   / a^2 0   0   0   0   \
| 0 b 0 0 0 |     | 0   b^2 0   0   0   |
| 0 0 c 0 0 |   = | 0   0   c^2 0   0   |
| 0 0 0 d 0 |     | 0   0   0   d^2 0   |
\ 0 0 0 0 e /     \ 0   0   0   0   e^2 /

Und da 1^2 = 1 ist, ist auch E * E = E^2 = E

 

[Liang Hu (BBB)]

Danke.
Könnt ihr mir noch etwas erklären?
Aufgabe:

Matrix A
1 0
2 1

Dann steht da,dass ich (A^T)^n bestimmen soll.

A Trn ist ja
1 2 aber wie verrechne ich das n?
0 1

Als Lösung kommt raus:
1 2n
0 1

Aber wieso?
Wieso hat sich das n nur auf die 2 bezogen und der Rest bleibt unverändert?

 

[Stalker]

ich denke mal wegen 1^n = 1 und 0^n = 0. da wird sich nichts ändern

 

[Liang Hu (BBB)]

ich denke mal wegen 1^n = 1 und 0^n = 0. da wird sich nichts ändern

Wieso ist 1^n=1?Für was steht das n?

Sieht die n Matrix nicht so aus?
n n
n n

Wenn man beides mal recht,dann steht da doch:
1n 2n 1n 2n
0 1n 0 1n

Also:
3n 3n
1n 1n

Oder nicht?

 

[Golan]

Sagmal, in was für nem Zusammenhang machst du denn das, wie hoch ist dein Wissen was Formalismus und so betrifft?

Nochmal kurz zur Einheitsmatrix, das lässt sich auch sehr einfach mit dem Kroneckerdelta zeigen. Für jedes Element einer nxn-Einheitsmatrix gilt:
(E)ₐₑ = δₐₑ (sprich (E)ₐₑ=1 für a=e also Diagonalelement, sonst 0)

Damit folgt für das Quadrat:
(E)ₐₑ² = (E)ₐᵢ (E)ᵢₑ = δₐᵢ δᵢₑ = δₐₑ = (E)ₐₑ


Dass A^n bedeutet einfach A mit einem beliebigen Exponenten n∈N. Also für n=2 wäre das A*A, für n=4 wäre das A*A*A*A usw.
Sowas betrachtet man bei überschaubaren Matrizen am besten einfach als Reihe, sprich man fängt bei einem kleinen n an und schaut einfach wie sich das entwickelt:

Aᵀ¹ = Aᵀ

(1 2)² =(1 2)(1 2) = (1 4)
(0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)

(1 2)³ =(1 2)(1 4) = (1 6)
(0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)

(1 2)⁴ =(1 2)(1 6) = (1 8)
(0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)

=>
(1 2)ⁿ =(1 2)(1 2(n-1)) = (1 2n)
(0 1)   (0 1)(0 1)        (0 1)

Lässt sich im Zweifelsfall per Vollständiger Induktion beweisen, aber das ist hier wohl nicht explizit nötig.

Alternativ kann man das auch anders lösen, als Binom:

Aᵀ = E + A'

mit:
A' = (0 2)
     (0 0)

=>
Aᵀ² = E² + 2 EA' + A'²
    = E + 2 A'  (da A'ⁿ=0 trivial für n>1)

=> 
Aᵀⁿ = (E + A')ⁿ = E + n A' (da der zweite Binominialkoeffizient immer n ist)

€dit
Ups, das war Nonsense. Ausgebessert.

 

[Dr.KokZ]

oh scheisse, ich hatte das erst letztes jahr... und ich weiss gar nix mehr ^^

 

[Lunak]

Ich hatte das nie und bin froh drüber