Polynomdivision ist eigentlich tatsächlich ziemlich einfach, weil man hier schlicht immer wieder das selbe macht und lediglich Division von Zahlen und Exponenten können muss. Man arbeitet schlicht Schrittweise die Exponenten ab, bis es nicht mehr weiter geht. Im Großen und ganzen handelt es sich um die Verallgemeinerung der regulären schriftlichen Division.
Mal kurz ein wenig zum Grundgedanken hinter der Sache, das ist da vielleicht ganz hilfreich. Das Grundproblem ist, ein Polynom u(x) durch ein anderes v(x) zu teilen - das Ergebnis davon ist wieder ein Polynom, also von der Form w(x)=Σaᵢ xⁱ. Schaut man sich das ganze als u:v=w oder zu u=v·w, kann man dadurch recht schnell eine Sache sehen: der Grad des Lösungspolynoms ist durch die beiden gegeben Polynome auch festgelegt, nämlich als Differenz der jeweils höchsten Exponenten, und dessen Koeffizient auch, als Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen. (I)
Wieso ist das so? Schauen wir uns mal nur die ersten Glieder deines Beispiels an: (u₂ᵣ und v₁ᵣ beinhalten die ausgelassenen Teile)
4x³+u₃ᵣ=(x+v₁ᵣ)·w(x)
Die Differenz der höchsten Exponenten ist 2 (3-1), also sagen wir jetzt w(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+... . Multipliziert man v·w aus und vergleicht die Koeffizienten, erhält man (4x³+u₂ᵣ)=a₃x⁴+(1·a₂ - v₁ᵣ·a₃ ) x³+( a₁ - v₁ᵣ·a₂ ) x²+...
Da es im Ausgangspolynom kein x⁴ gibt, muss a₃ Null sein, gleiches gilt für Koeffizienten von höheren Graden. w(x) hat also tatsächlich Grad 2, die Differenz der Grade der gegebenen Polynome.
Der zugehörige Koeffizient a₂ lässt sich direkt ablesen, da jetzt sicher (1·a₂ - v₁ᵣ·a₃ )=1·a₂ gilt, der Koeffizientenvergleich liefert a₂=4/1=4.
Die Situation erscheint jetzt etwas komplizierter, denn bei den kleineren Exponenten der Lösung kommt es zu Vermischungen. Da wir das höchste Element schon kennen, können wir die Sache jedoch vereinfachen: (II)
4x³+u₂ᵣ=(x+v₁ᵣ)·(4x²+w₂ᵣ)
4x³+u₂ᵣ - (x+v₁ᵣ)·4x² = (x+v₁ᵣ)·w₂ᵣ
4x³-4x³ + u₂ᵣ-v₁ᵣ·4x² = (x+v₁ᵣ)·w₂ᵣ
u₂ᵣ-v₁ᵣ·4x² = (x+v₁ᵣ)·w₂ᵣ
Wenn man sich das einmal genau anschaut, dann ist links jetzt wieder ein Polynom, aber ein Grad niedriger, und die einzige unbekannte ist der Teil, den wir ohnehin noch suchen - wieder genau der Fall einer Polynomdivision. (III)
Man arbeitet sich bei der Polynomdivision schrittweise (I-III) immer einen Grad niedriger, bis man bei einer Konstanten angekommen ist.
Okay, wenden wir das mal an auf dein Beispiel. Höchstes Element bestimmen (I)...
(4x³+2x²-6x+2)
x-2)=4x²+...
Den Teil bestimmen, der durch die Lösung jetzt schon bekannt ist (II)...
(x-2)·4x²=4x³-8x²
Neue Ausgangslage bestimmen (III)...
4x³+2x²-6x+2-(4x³-8x²) = 10x²-6x+2
Zweiter Durchlauf. Höchstes Element bestimmen (I)...
(10x²-6x+2)
x-2)= 10x+...
Den Teil bestimmen, der durch die Lösung jetzt schon bekannt ist (II)...
(x-2)·10x = 10x²-20x
Neue Ausgangslage bestimmen (III)...
10x²-6x+2 - (10x²-20x) = 14x+2
Dritter Durchlauf. Höchstes Element bestimmen (I)...
(14x+2)
x-2)= 14
Den Teil bestimmen, der durch die Lösung jetzt schon bekannt ist (II)...
(x-2)·14 = 14x-28
Neue Ausgangslage bestimmen (III)...
14x+2 - (14x-28) = 30
An dieser Stelle wird dann (in der Schule) abgebrochen. Das Überbleibsel wird als Rest angegeben (so wie 10/4 als Ergebnis 2 Rest 2 angegeben werden kann). Die Lösung setzt sich aus den Einzelergebnissen zusammen.
(4x³+2x²-6x+2)
x-2)=4x²+10x+14 Rest 30
Die schriftliche Polynomdivision packt das ganze in einen überschaubaren Rahmen, indem man die Zwischenschritte angemessen verstaut. Die Zwischenergebnisse (I) werden einfach immer weiter aneinander gereiht, die Teillösung (II) unter das Ausgangspolynom geschrieben und dann wie bei schriftlicher Subtraktion der noch zu lösende Rest (III) darunter geschrieben. Dazu gibt's ja jetzt die netten Veranschaulichungen von mope7 und .deviant.
