Optimierung unter Nebenbedingung

[metri]

Hi,
Also ich steh vor folgender Aufgabe, die ich einfach nicht lösen kann:

Um das Produkt A herstellen zu können, muss eine Maschine im Wert von 15.000 angeschafft werden. Die Maschine besitzt eine Leistungsfähigkeit von 1000h/Periode.
Zur Herstellung eines Stücks von Produkt A werden 4 Stunden benötigt. Die variablen Kosten von Produkt A belaufen sich auf 8/Stk.

Nun ist der deckungsbeitrag-optimale Preis zu ermitteln.

Dabei ist bekannt:

DB = (p-k)*y -f
y = 400 -2,5p

y=Absatzmenge
k=Kosten (variabel)
p=Preis
DB= Deckungsbeitrag
f= Fixkosten

Ist schon sehr lang her, dass ich so einen Aufgabentyp gemacht hab und weiß nicht mehr genau wie es geht, müsste aber afaik zu lösen sein, indem man eine Lagrange-Funktion aufstellt und diese ableitet. Nur stell ich mich zu blöd an

Um Hilfe wäre ich echt dankbar!

 

[ElDonoX]

möglichkeit1: der DB müsste 60eur sein, denn du kannst maximal 250 stück produzieren und 15000/250 = 60 eur

somit muss das produkt mindestens 68eur kosten um alle anfallenden kosten zu decken. danach erreichst du den break even point.

 

[metri]

Erst mal danke für die Antwort, aber das Problem ist ja, dass die maximale Produktionsmenge nicht zwangsläufig die optimale ist, also den DB maximiert. Und der break-even macht ja nicht wirklich eine Aussage über den optimalen preis. Bin mir ziemlich sicher dass man zur Lösung einen Lagrange Ansatz braucht, aber ich kann aus den angaben die Nebenbedingung nicht herleiten.

 

[ElDonoX]

ja das ist eben das problem, ich finde diese nebenbedingung auch nicht, und dazu kommt,was ist dann der optimale preis? einzige sache kann sein, dass die maschine nach 1000h den geist aufgibt, dann steigt der preis auf ca 128eur um sie nach den 1000std wieder neu anschaffen zu können.

 

[Golan]

Was ist da jetzt die Nebenbedingung? Die variablen Kosten belaufen sich im Schnitt auf 68€ pro Stück (15.000€ pro 250 Stück für Maschine + 8€ pro Stück), damit sind alle Werte außer p bekannt, einsetzen, Ableiten, Nullsetzen.
€dit
Da die Produktionsmenge keine Variable ist, macht nur Vollproduktion und damit der Mittlere Preis von 68€/Stück Sinn. Die einzige von der Menge möglich abhängende Variable ist k, diese ist jedoch stetig fallend mit der Produktionszahl (Maximum von 15.008€/Stück bei 1 und 68€/Stück bei 250) und DB ist immer stetig fallend mit k, es muss also k minimal sein um DB zu maximieren, was nur bei Vollproduktion (Produktion N*250 oder gegen unendlich) möglich ist.

 

[metri]

Also die variablen Kosten sind ausschließlich 8€.
15.000 sind dann die Fixkosten, die aber bei der Ableitung eh wegfallen und erst mal für den Deckungsbeitrag uninteressant sind.
Eine Bedingung muss ja sein, dass y nicht größer als 250 ist (1000/4 maximale Produktionsmenge).

Jetzt is mein Problem, wie ich das in die Formel bringe.

Ich habe ja folgendes:

DB = (p-8) * (400 -2,5p) - f
dDB/dp = 5p -420 = 0 für ein maximum.
Dabei ist doch aber nicht berücksichtigt, dass (400-2,5p) nich größer sein darf, als die max. Produktionsmenge.

Kann aber auch sein dass ich irgendwo einen Denkfehler drin habe, weil ich überarbeitet bin.

 

[ElDonoX]

den DB kennst du doch, der ist 60 eur

jetzt musst du nur noch die formel so anpassen,

DB60 = ( preis X - 8) * 250 - 15000

ich bekomm wenn ich das nach X auflöse 68,24 eur raus.

was jetzt aber diese zeile genau aussagt :
y = 400 -2,5p
bzw wie du auf die beiden zahlen kommst vesteh ich nicht.

 

[metri]

Also ich bin so vorgegangen:

Diese Formel ist gegeben: DB = (p-k)*y -f

Dann habe ich folgende gegebene Absatzfunktion eingesetzt: y = 400 -2,5p, was dann das hier ergibt:

DB = (p-k)*(400-2,5p) -f

mit k = 8 und f = 15000 ergibt sich vereinfacht:

DB = -2,5p^2 + 420p -18200

Nun bilde ich die erste Ableitung nach p:

DB' = -5p + 420

Diese Ableitung setzt ich = 0 um an ein Maximum heranzukommen:

0 = -5p + 420 folglich: p = 84

Dies wäre nun der deckungsbeitragoptimierende Preis.
Allerdings habe ich dabei außer Acht gelassen, dass nicht mehr als 250 Stk produziert werden können. ( y < = 250) Absatz kleiner oder gleich 250.

Also ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass man diese gerade durchgeführte Optimierung jedoch unter der Nebenbedingung, dass der Absatz 250 nicht übersteigen kann durchführen sollte.

€: seh grad, dass p = 84 das richtige ergebnis sein müsste, es erfüllt ja auch die Vorsetztung mit dem Absatz

 

[Golan]

Die Absatzgrenze ist eigentlich keine klassische Nebenbedingung wie sie z.B. mit LaGrange'schen Multiplikatoren verwendet werden sollte, sondern eine Randbedingung, ähnlich einem Definitionsbereich. Von dem her sollte das okay sein, die Einhaltung der Bedingung extra zu prüfen, was hier ja auch zum Erfolg führt. Da d²DB/dp² <= 0 für p>0 (negative Krümmung) ist und der Optimalwert in den Grenzen liegt, muss man keine Prüfung der Randwerte machen, da diese automatisch kleiner sind als das Maximum der Funktion.