0 Stellen berechnung: Potenzfunktionen

[Keerulz]

Hallo Leute


Ich schreibe Morgen eine Klausur und komme grad mit einer Aufgabe nicht so wirklich klar.

f(x)=x^6-2xX^4+X^2

Hier soll ich die Nullstellen ausrechnen... kann mir jemand Helfen?

 

[SUCKYSUCK_]

Bin mir unsicher, aber kann man nicht erst x^2 = y setzen, dann ableiten udn dann PQ Formel?

Ohne Gewähr! Nur grad mein erster Gedanke ^^

 

[Golan]

Also der erste Schritt wäre mal Vereinfachen, sprich gemeinsame Potenzen ausklammern:

=> f(x) = x² ( x⁴ - 2x² + 1 ) = f₁(x) ⋅ f₂(x)

f(x) ist Null wenn f₁(x) und/oder f₂(x) gleich Null ist.

f₁(x) = 0
=> λ₁₂ = 0

f₂(x) = 0
=> x⁴ - 2x² + 1 = 0 Substitition zur quadratischen Gleichung: y = x²
=> y² - 2y + 1 = 0
=> μ₁₂ = ( 2 ± √(4 - 4) ) / (2) = 1 (Mitternachtsformel)

Rücksubstitution: λ = ± √μ
=> λ₃₅ = 1
=> λ₄₆ = -1

=> Nullstellen sind 0, 1 und -1. Alle sind doppelte Nullstellen. Ferner gilt f(x) = x² ⋅ (x - 1)² ⋅ (x + 1 )²

Hoffe das hilft.

 

[Keerulz]

Also ich habs hier genauso gemacht, allerdings hab ich halt nur 1 und -1 für x rausbekommen.

Wie man jetzt so da direkt rausschließen kann dass y überall 0 ist hab ich nicht so richtig verstanden

 

[baracuda]

Ich würde einsetzen und die Probe machen.
f(x) wird, wenn man es auf malt, an den Stellen 1, 0 und -1 gleich 0.

 

[Keerulz]

okay, die beiden 0 Stellen hab ich, was ist den mit der 3. 0 Stelle?
in meiner Lösung steht noch 0/0 als 3. 0Stelle.

weiß einer wie er darauf gekommen ist?

 

[DrFriedChicken]

okay, die beiden 0 Stellen hab ich, was ist den mit der 3. 0 Stelle?
in meiner Lösung steht noch 0/0 als 3. 0Stelle.

weiß einer wie er darauf gekommen ist?

Nimm nochmal die vereinfachte Form hier:

f(x) = x² ⋅ ( x⁴ - 2x² + 1 )

Den blauen Bereich hast du schon fertig, was passiert also, wenn du 1 oder -1 einsetzt? - Der blaue Bereich wird Null.

-> (1)² ⋅ 0 oder (-1)² ⋅ 0

Das Ganze funktioniert aber eben auch anders herum:

0 ⋅ ( x⁴ - 2x² + 1 )



oder nochmal kürzer:

Du hast zwar

0=( x⁴ - 2x² + 1 )

gemacht, aber nicht

0=x²

 

[Keerulz]

hmmm, aber wie kommt mein Lehrer auf

(-1,0) (0,0) (1,0)

indem er für x=0 einsetzt?

muss man das immer machen?

 

[DrFriedChicken]

muss man das immer machen?

Nein, du hast aber vor der Klammer noch ein x² stehen.

f(x) = x² ⋅ ( x⁴ - 2x² + 1 )

Du hast 2 Faktoren:

1. x²
2. ( x⁴ - 2x² + 1 )

Diese zwei Faktoren müssen bei der Multiplikation auf ein Produkt von 0 kommen, weil du ja die Nullstellen finden willst.

Nun gibt es nur 2 Möglichkeiten, dass das Produkt 0 wird.

1. Der 1. Faktor wird 0
oder
2. Der 2. Faktor wird 0

Also:

1. 0 ⋅ ( x⁴ - 2x² + 1 ) = 0
oder
2. x² ⋅ 0 = 0

Nun musst du dich fragen, was getan werden muss, um entweder den ersten Fall umzusetzen, oder den zweiten.

Im ersten Fall muss x² = 0 sein
Im zweiten Fall muss ( x⁴ - 2x² + 1 ) = 0 sein

Im ersten Fall sieht die Lösung so aus, dass du die Wurzel aus 0 ziehen musst, um auf ein einfaches x zu kommen. Im zweiten Fall musst du die Mitternachtsformel anwenden, um die Lösung zu erhalten...

 

[Keerulz]

okay, also ich habs jetzt fast begriffen, allerdings bekommen ich im zweiten Fall ( x⁴ - 2x² + 1 ) = 0 wenn ich die PQ Formel anwende eben nicht (0,0) raus... Kann man denn festhalten, dass wenn man etwas vor der Klammer stehen hat eine 3. 0Stelle haben muss?

Ich habe noch eine Frage:
Ich soll die gemeinsammen Punkte von F(x)=4x^4 und g(x)=4x^2 finden.

jetzt setzt man diese ja gleich

4x^4=4x^2

muss ich jetzt erst durch 4 teilen und dann -x² rechnen so das ich dann x^4-x^2=0 habe?
Ich komm damit irgendwie auch nicht klar

 

[Keerulz]

puuuuush 4 help!!!

 

[Golan]

Die Nullstellen λ₁₂ = 0 bekommst du nicht aus der PQ-Formel. Die sind rein aus dem x² Faktor, der zu Beginn in jedem Element ist und ausgeklammert werden kann.
Allgemein: Für jedes x, dass du aus einer Funktion vollständig ausklammern kannst, erhältst du eine Nullstelle für x = 0.

Zum neuen Problem: Das Problem kannst du auf unterschiedliche Arten Lösen. Entweder du machst dir Bewusst, dass x² eine Parabel und x⁴ parabelähnlich ist, damit können beide nur in (0,0), (-1,1) und (1,1) Schnittpunkte haben. Wegen dem Faktor 4 sind das dann (0,0), (-1,4) und (1,4).
Oder du klammerst x² aus, die verbleibende Gleichung ist dann recht einfach.
Oder du verwendest eine Substitution x² = y, auch wenn das etwas Overkill ist (das läuft eigentlich auf's gleiche raus).

Vorraussetzung:
F(x) = g(x)
=> F - g = 0
=> 4x⁴ - 4x² = 0

Ausklammern:
=> x² ( x² - 1 ) = 0
Fallunterscheidung:
=> x² = 0 ∨ x² = 1

=> λ₁₂ = 0 ; λ₃ = 1 ; λ₄ = -1

Wegen F(0) = g(0) = 0 ist (0;0) eine (doppelte) Nullstelle, wegen F(±1) = g(±1) = 4 sind (-1;4) und (1;4) ebenfalls Nullstellen.

 

[Keerulz]

Vorraussetzung:
F(x) = g(x)
=> F - g = 0
=> 4x⁴ - 4x² = 0

Ausklammern:
=> x² ( x² - 1 ) = 0
Fallunterscheidung:
=> x² = 0 ∨ x² = 1

=> λ₁₂ = 0 ; λ₃ = 1 ; λ₄ = -1

Wegen F(0) = g(0) = 0 ist (0;0) eine (doppelte) Nullstelle, wegen F(±1) = g(±1) = 4 sind (-1;4) und (1;4) ebenfalls Nullstellen.

hast du dann einfach 4x^4=4x^2 |-4x^2 gerechnet um auf normal From zu kommen?

und wie hast du die 4 verschwinden lassen? Also um zu Substituieren brauch ich ja die form x^4-x^2

Unser Mathe Lehrer ist echt schrecklich

 

[Golan]

Gewissermaßen, einfach von der Voraussetzung zu Schritt eins gleich alle Funktionen auf eine Seite gebracht. Hab nur nicht gleich die Definitionen der Funktionen eingesetzt damit es kürzer zu schreiben ist, aber mathematisch ist das das gleiche.

Unser Mathe Lehrer ist echt schrecklich

Glaub ich dir, ein mieser Lehrer macht auch die einfachsten Probleme zu einem verwirrenden Wirrwarr verwirrter Dinges.

 

[Keerulz]

okay, dann kann ich ja einfach durch 4 teilen und dann ausklammern oder substituieren... big THX

 

[Keerulz]

Kalusur verlief sehr gut, muss eine 1 sein, war aber auch einfach^^

nochmal DANKE an alle