Vollständige Induktion

[Zaro]

Hey,

in der Uni beschäftigen wir uns gerade mit der vollständigen Induktion. Vom Prinzip her ist mir klar wie das funktioniert, ich habe hier jedoch bei drei Aufgaben Probleme Umformungen nachzuvollziehen bzw. selbst umzuformen. Wäre nett wenn mir jmd weiterhelfen könnte.


1. Hier wurden nach einsetzen der IV Umformungsschritte durchgeführt, die ich nicht nachvollziehen kann, da scheinbar mehrere Schritte in einem gemacht wurden. Ich hätte die Umformung gerne mal in kleinen Schritten gesehen:

[n(n+1)]/2+n+1 = (n+1)(1/2 +1) = 1/2 *(n+1)(n+2)


2. Wenn ich folgende Umformung zurückrechne, komme ich zu dem Schluss, dass nachher etwas anderes rauskommt als vor der Umformung und ich vermute daher, dass hier ein Fehler vorliegen müsste. Überprüft das bitte mal und sagt mir ob die Umformung richtig oder falsch ist:

[n(n+1)]/2+n+1 = [n²+n+2n+2]/2 = [n²+3n+2]/2 = [(n+1)(n+2)]/2 "Bis hierhin klar, jetzt kommt der letzte Schritt, der in meinen Augen falsch ist": = [(n+1)(n+1)+1]/2


3. An dieser Stelle komme ich nach einsetzen der IV nicht weiter:

2-(n+2)/2^n + (n+1)/2^n+1

Die Form, die erreicht werden soll lautet: 2-[(n+1)+2]/2^n+1


Ich hoffe es findet sich jmd, der mir helfen kann.

Greetz
bAshTi

 

[uNNa]

Ich kann zwar schlecht Mathe und weiß nicht was eine Induktion ist, aber musst du in der ersten Aufgabe nicht einfach [n(n+1)]/2+n+1= [n(n+1)]/2+2(n+1)/2 machen? Das heißt "n+1" mal 2 und durch 2, dann kannste den bruch zusammenfassen, weil beide den gleichen nenner haben. Multiplizierst dann alles aus und kriegst n²+3n+2/2...fasst das obere dann halt zu einer Bin. Formel zusammen und bringst den Nenner in den Zähler?

Wie gesagt, ka. Gleich kommt eh Golan um die ecke und sagt´s dir.

EDIT: Die zweite Aufgabe scheint falsch abgeschrieben zu sein. Zumindest bei deiner letzter Vermutung. Richtig wäre es, wenn da " [(n+1)(n+1)+1+n]/2 rauskommt. Aber auch das wie immer ohne Gewähr

 

[Zaro]

Bei 1. habe ich mir das mit dem erweitern auch gedacht und kam soweit wie du, mit dem ausmultiplizieren. Eine binomische Formel lässt sich aus " n²+3n+2 " jedoch nicht bilden, soweit ich das gerade erkennen kann.

Zu 2. Ja, das dachte ich mir auch, aber dann passt es mit der Induktion nicht mehr. Gewünscht ist hier die Endform: [(n+1)(n+1+1)]/2

 

[Golan]

Ich verstehe dein Problem mit der 1 und 2 jetzt nicht so ganz. Das ist beides mal die gleiche Ausgangslage und es kommt auch das gleiche Ergebnis raus, nur dass du es im zweiten Fall wohl anders schreiben willst (da gehört die Klammer dann hinter die letzte 1). Woher bei der 1 der zweite Schritt kommt hab ich ka (oder was er soll, da fehlt einiges), die Rechnung wie bei der 2 stimmt soweit bis eben auf den Typo im Ergebnis.

Zur 3:

 

[Zaro]

Erstmal Danke, dass du dir die Zeit nimmst!

Zu 1.
Eben weil da einige Schritte fehlen, würde ich diese gerne vorgerechnet haben. Also, dass mir jmd zeigt, wie man per Umformung von Formel 1 zu Formel 2 kommt.

Zu 2.
Was ist ein Typo? ^^

Zu 3.
Mit 2 zu erweitern habe ich auch gemacht und bis dahin ist mir das auch klar. Aber warum sind die beiden Summanden des Zählers, des zweiten Bruchs (n+1) plötzlich mit negativen Vorzeichen versehen, wenn der Bruch zusammengezogen wird? Zwischen den beiden Brüchen steht doch ein +.

 

[Golan]

1: Den Rechenweg hast du bei der 2 eigentlich schon größtenteils stehen. Das Entscheidende ist hier die richtige Faktorisierung - das könnte man natürlich auch über Nullstellen machen, aber bei dem einfachen Zusammenhang ist "Raten" schneller.

2: Typo ist ein Schreibfehler. [(n+1)(n+1)+1]/2 müsste [(n+1)(n+1+1)]/2 sein, siehe 1.

3: Das wichtige ist, dass der erste Bruch ein negatives Vorzeichen hat. Ziehst du also den zweiten rein, muss der intern negativ werden, um das auszugleichen. Das ist gerade die Umformung:
a-b+c=a-b-(-c)=a-(b-c)

 

[Zaro]

Jetzt kann ich alle 3 Aufgaben lückenlos nachvollziehen. Ich danke dir!

Eine kleine Frage noch. Wofür genau steht die Abkürzung "NR"? Nullstellen raten?

 

[Mooff]

Nullstellen raten. mmd

NR = Nebenrechnung

 

[Zaro]

Haha!

Danke. ^^