Genau, die Vorgabe >= 0 heißt du suchst nach Stellen mit Vorzeichen +, bei <= 0 müsstest du nach Stellen mit Vorzeichen - suchen.
Vorzeichenwechsel heißt ja, dass du von + nach - oder umgekehrt wechselst. Für einen einfachen Term wie (x+5) ist das nur an seiner Nullstelle möglich, weil du ja vom positiven Bereich in den negativen wechselst (oder umgekehrt) und 0 genau die Grenze dazwischen ist. Da sich der Gesamtterm aus solchen einfachen Termen zusammensetzt, kann er auch nur sein Vorzeichen wechseln, wenn einer der einfachen Terme sein Vorzeichen wechselt. In den Intervallen zwischen den Nullstellen kann das nie passieren, also kannst du hier ein festes Vorzeichen bestimmen.
"(" und "[" geben an, ob das Intervall an der Seite offen oder geschlossen ist - geschlossen "[" heißt, die Intervallgrenze gehört mit zum Intervall, offen "(" heißt, die Intervallgrenze gehört nicht zum Intervall. Die Seite, auf der das Zeichen steht, gibt an, für welche es gilt.
(5,8] würde bedeuten, alle Zahlen größer als 5 sowie kleiner oder gleich 8. Also z.B. 5,1 , 6,5 , 7 und 8 liegen im Intervall, aber nicht die 5.
Da +∞ und -∞ streng genommen keine Zahlen sind, ist ein Intervall ins Unendliche genau genommen immer offen - jede Zahl, die im Intervall liegt, ist von ihrem Betrag her kleiner als die Grenze ∞.
Davon abgesehen muss bei einem Vorzeichenwechsel die
exakte Position des Wechsels nicht unbedingt die geforderte Bedingung erfüllen. Wäre die Aufgabenstellung > 0 (anstatt >= 0) würden die Nullstellen automatisch aus der Lösungsmenge herausfallen, weil die Funktion hier eben
genau 0, nicht größer oder kleiner 0 ist - die Lösungsintervalle wären dann an allen Nullstellen offen. In deinem Beispiel hier hat die
Funktion an ±4 jeweils eine Polstelle, sprich ihr Wert und damit ihr Vorzeichen ist dort unbestimmt. Deshalb ist das Intervall [-3,4) nach rechts
offen, weil alle Zahlen
bis zur 4 aber nicht die 4 selbst die geforderte Bedingung erfüllen.
Die Lösung
x∊{(-∞ , -4) v [-3, 4) v [9, ∞)}
heißt in Worten
X ist im Bereich minus Unendlich bis -4, oder im Bereich -3 bis 4 einschließlich -3, oder im Bereich 9 bis Unendlich einschließlich 9.
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bzw. vielleicht noch in ein paar Tagen auf anderes Mathelastiges.
