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Optimierung unter Nebenbedingung

Eine Diskussion über Optimierung unter Nebenbedingung im Forum Hausaufgaben. Teil des Reallife-Bereichs; Hi, Also ich steh vor folgender Aufgabe, die ich einfach nicht lösen kann: Um das Produkt A herstellen zu können, ...

  1. #1
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    Avatar von metri
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    Optimierung unter Nebenbedingung

    Hi,
    Also ich steh vor folgender Aufgabe, die ich einfach nicht lösen kann:

    Um das Produkt A herstellen zu können, muss eine Maschine im Wert von 15.000 angeschafft werden. Die Maschine besitzt eine Leistungsfähigkeit von 1000h/Periode.
    Zur Herstellung eines Stücks von Produkt A werden 4 Stunden benötigt. Die variablen Kosten von Produkt A belaufen sich auf 8/Stk.

    Nun ist der deckungsbeitrag-optimale Preis zu ermitteln.

    Dabei ist bekannt:

    DB = (p-k)*y -f
    y = 400 -2,5p

    y=Absatzmenge
    k=Kosten (variabel)
    p=Preis
    DB= Deckungsbeitrag
    f= Fixkosten

    Ist schon sehr lang her, dass ich so einen Aufgabentyp gemacht hab und weiß nicht mehr genau wie es geht, müsste aber afaik zu lösen sein, indem man eine Lagrange-Funktion aufstellt und diese ableitet. Nur stell ich mich zu blöd an

    Um Hilfe wäre ich echt dankbar!
    Geändert von metri (20.02.2011 um 16:57 Uhr)

  2. #2
    Oberfeldwebel
    Avatar von ElDonoX
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    möglichkeit1: der DB müsste 60eur sein, denn du kannst maximal 250 stück produzieren und 15000/250 = 60 eur

    somit muss das produkt mindestens 68eur kosten um alle anfallenden kosten zu decken. danach erreichst du den break even point.
    Geändert von ElDonoX (20.02.2011 um 17:09 Uhr)
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  3. #3
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    Avatar von metri
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    Erst mal danke für die Antwort, aber das Problem ist ja, dass die maximale Produktionsmenge nicht zwangsläufig die optimale ist, also den DB maximiert. Und der break-even macht ja nicht wirklich eine Aussage über den optimalen preis. Bin mir ziemlich sicher dass man zur Lösung einen Lagrange Ansatz braucht, aber ich kann aus den angaben die Nebenbedingung nicht herleiten.
    Geändert von metri (20.02.2011 um 18:08 Uhr)

  4. #4
    Oberfeldwebel
    Avatar von ElDonoX
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    ja das ist eben das problem, ich finde diese nebenbedingung auch nicht, und dazu kommt,was ist dann der optimale preis? einzige sache kann sein, dass die maschine nach 1000h den geist aufgibt, dann steigt der preis auf ca 128eur um sie nach den 1000std wieder neu anschaffen zu können.
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  5. #5
    Feldwebel
    Avatar von Golan
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    Was ist da jetzt die Nebenbedingung? Die variablen Kosten belaufen sich im Schnitt auf 68€ pro Stück (15.000€ pro 250 Stück für Maschine + 8€ pro Stück), damit sind alle Werte außer p bekannt, einsetzen, Ableiten, Nullsetzen.
    €dit
    Da die Produktionsmenge keine Variable ist, macht nur Vollproduktion und damit der Mittlere Preis von 68€/Stück Sinn. Die einzige von der Menge möglich abhängende Variable ist k, diese ist jedoch stetig fallend mit der Produktionszahl (Maximum von 15.008€/Stück bei 1 und 68€/Stück bei 250) und DB ist immer stetig fallend mit k, es muss also k minimal sein um DB zu maximieren, was nur bei Vollproduktion (Produktion N*250 oder gegen unendlich) möglich ist.
    Geändert von Golan (20.02.2011 um 18:33 Uhr)

  6. #6
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    Also die variablen Kosten sind ausschließlich 8€.
    15.000 sind dann die Fixkosten, die aber bei der Ableitung eh wegfallen und erst mal für den Deckungsbeitrag uninteressant sind.
    Eine Bedingung muss ja sein, dass y nicht größer als 250 ist (1000/4 maximale Produktionsmenge).

    Jetzt is mein Problem, wie ich das in die Formel bringe.

    Ich habe ja folgendes:

    DB = (p-8) * (400 -2,5p) - f
    dDB/dp = 5p -420 = 0 für ein maximum.
    Dabei ist doch aber nicht berücksichtigt, dass (400-2,5p) nich größer sein darf, als die max. Produktionsmenge.

    Kann aber auch sein dass ich irgendwo einen Denkfehler drin habe, weil ich überarbeitet bin.

  7. #7
    Oberfeldwebel
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    den DB kennst du doch, der ist 60 eur

    jetzt musst du nur noch die formel so anpassen,

    DB60 = ( preis X - 8) * 250 - 15000

    ich bekomm wenn ich das nach X auflöse 68,24 eur raus.

    was jetzt aber diese zeile genau aussagt :
    y = 400 -2,5p
    bzw wie du auf die beiden zahlen kommst vesteh ich nicht.
    old school

  8. #8
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    Also ich bin so vorgegangen:

    Diese Formel ist gegeben: DB = (p-k)*y -f

    Dann habe ich folgende gegebene Absatzfunktion eingesetzt: y = 400 -2,5p, was dann das hier ergibt:

    DB = (p-k)*(400-2,5p) -f

    mit k = 8 und f = 15000 ergibt sich vereinfacht:

    DB = -2,5p^2 + 420p -18200

    Nun bilde ich die erste Ableitung nach p:

    DB' = -5p + 420

    Diese Ableitung setzt ich = 0 um an ein Maximum heranzukommen:

    0 = -5p + 420 folglich: p = 84

    Dies wäre nun der deckungsbeitragoptimierende Preis.
    Allerdings habe ich dabei außer Acht gelassen, dass nicht mehr als 250 Stk produziert werden können. ( y < = 250) Absatz kleiner oder gleich 250.

    Also ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass man diese gerade durchgeführte Optimierung jedoch unter der Nebenbedingung, dass der Absatz 250 nicht übersteigen kann durchführen sollte.

    €: seh grad, dass p = 84 das richtige ergebnis sein müsste, es erfüllt ja auch die Vorsetztung mit dem Absatz
    Geändert von metri (20.02.2011 um 19:26 Uhr)

  9. #9
    Feldwebel
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    Die Absatzgrenze ist eigentlich keine klassische Nebenbedingung wie sie z.B. mit LaGrange'schen Multiplikatoren verwendet werden sollte, sondern eine Randbedingung, ähnlich einem Definitionsbereich. Von dem her sollte das okay sein, die Einhaltung der Bedingung extra zu prüfen, was hier ja auch zum Erfolg führt. Da d²DB/dp² <= 0 für p>0 (negative Krümmung) ist und der Optimalwert in den Grenzen liegt, muss man keine Prüfung der Randwerte machen, da diese automatisch kleiner sind als das Maximum der Funktion.

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