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Matrix E

Eine Diskussion über Matrix E im Forum Hausaufgaben. Teil des OFF-Topic-Bereichs; A * A = A^2 aber wieso ist nicht E * E = E^2 ,sondern nur E? Trifft das bei ...

  1. #1
    Oberfeldwebel
    Avatar von Liang Hu (BBB)
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    Matrix E

    A * A = A^2

    aber wieso ist nicht E * E = E^2 ,sondern nur E?
    Trifft das bei einer Einheitsmatrix nicht zu?

    Danke im Voraus.

  2. #2
    Administrator
    Avatar von stefros
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    Weil E² = E, die Einheitsmatrix hat die Eigenschaften eines Projektors.

  3. #3
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    Avatar von Osbes
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    Das Quadrat einer Diagonalmatrix ist immer das Quadrat der Diagonaleinträge.

    Bsp.:
    Code:
    / a 0 0 0 0 \^2   / a^2 0   0   0   0   \
    | 0 b 0 0 0 |     | 0   b^2 0   0   0   |
    | 0 0 c 0 0 |   = | 0   0   c^2 0   0   |
    | 0 0 0 d 0 |     | 0   0   0   d^2 0   |
    \ 0 0 0 0 e /     \ 0   0   0   0   e^2 /
    Und da 1^2 = 1 ist, ist auch E * E = E^2 = E

  4. #4
    Oberfeldwebel
    Avatar von Liang Hu (BBB)
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    Danke.
    Könnt ihr mir noch etwas erklären?
    Aufgabe:

    Matrix A
    1 0
    2 1

    Dann steht da,dass ich (A^T)^n bestimmen soll.

    A Trn ist ja
    1 2 aber wie verrechne ich das n?
    0 1

    Als Lösung kommt raus:
    1 2n
    0 1

    Aber wieso?
    Wieso hat sich das n nur auf die 2 bezogen und der Rest bleibt unverändert?

  5. #5
    will bespaßt werden
    Avatar von Stalker
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    ich denke mal wegen 1^n = 1 und 0^n = 0. da wird sich nichts ändern
    "Irren ist menschlich, aber wenn man richtigen Mist bauen will, braucht man einen Computer."

    Dan Rather

  6. #6
    Oberfeldwebel
    Avatar von Liang Hu (BBB)
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    Zitat Zitat von Stalker Beitrag anzeigen
    ich denke mal wegen 1^n = 1 und 0^n = 0. da wird sich nichts ändern
    Wieso ist 1^n=1?Für was steht das n?

    Sieht die n Matrix nicht so aus?
    n n
    n n

    Wenn man beides mal recht,dann steht da doch:
    1n 2n 1n 2n
    0 1n 0 1n

    Also:
    3n 3n
    1n 1n

    Oder nicht?

  7. #7
    Feldwebel
    Avatar von Golan
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    Sagmal, in was für nem Zusammenhang machst du denn das, wie hoch ist dein Wissen was Formalismus und so betrifft?

    Nochmal kurz zur Einheitsmatrix, das lässt sich auch sehr einfach mit dem Kroneckerdelta zeigen. Für jedes Element einer nxn-Einheitsmatrix gilt:
    (E)ₐₑ = δₐₑ (sprich (E)ₐₑ=1 für a=e also Diagonalelement, sonst 0)

    Damit folgt für das Quadrat:
    (E)ₐₑ² = (E)ₐᵢ (E)ᵢₑ = δₐᵢ δᵢₑ = δₐₑ = (E)ₐₑ


    Dass A^n bedeutet einfach A mit einem beliebigen Exponenten n∈N. Also für n=2 wäre das A*A, für n=4 wäre das A*A*A*A usw.
    Sowas betrachtet man bei überschaubaren Matrizen am besten einfach als Reihe, sprich man fängt bei einem kleinen n an und schaut einfach wie sich das entwickelt:
    Code:
    Aᵀ¹ = Aᵀ
    
    (1 2)² =(1 2)(1 2) = (1 4)
    (0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)
    
    (1 2)³ =(1 2)(1 4) = (1 6)
    (0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)
    
    (1 2)⁴ =(1 2)(1 6) = (1 8)
    (0 1)   (0 1)(0 1)   (0 1)
    
    =>
    (1 2)ⁿ =(1 2)(1 2(n-1)) = (1 2n)
    (0 1)   (0 1)(0 1)        (0 1)
    Lässt sich im Zweifelsfall per Vollständiger Induktion beweisen, aber das ist hier wohl nicht explizit nötig.

    Alternativ kann man das auch anders lösen, als Binom:
    Code:
    Aᵀ = E + A'
    
    mit:
    A' = (0 2)
         (0 0)
    
    =>
    Aᵀ² = E² + 2 EA' + A'²
        = E + 2 A'  (da A'ⁿ=0 trivial für n>1)
    
    => 
    Aᵀⁿ = (E + A')ⁿ = E + n A' (da der zweite Binominialkoeffizient immer n ist)
    €dit
    Ups, das war Nonsense. Ausgebessert.
    Geändert von Golan (16.11.2009 um 17:05 Uhr)

  8. #8
    Leutnant
    Avatar von Dr.KokZ
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    oh scheisse, ich hatte das erst letztes jahr... und ich weiss gar nix mehr ^^

  9. #9
    Brigadegeneral
    Avatar von Lunak
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    Ich hatte das nie und bin froh drüber

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