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[Mathe] Ungleichungen

Eine Diskussion über [Mathe] Ungleichungen im Forum Hausaufgaben. Teil des Reallife-Bereichs; Nehmen wir an ich habe eine Ungleichung mit den Lösungen 0 <= (x+3)(x-9)/(x-4)(x+4) Natürlich sind die Nullstellen damit raus zu ...

  1. #1
    Stabsunteroffizier
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    [Mathe] Ungleichungen

    Nehmen wir an ich habe eine Ungleichung mit den Lösungen

    0 <= (x+3)(x-9)/(x-4)(x+4)

    Natürlich sind die Nullstellen damit raus zu lesen.
    Danach folgt aber dann noch diese Intervall bestimmung:

    Unbenannt.bmp

    x€(-unendlich, -4) ODER [-3, 4) ODER [9, unendlich)

    EDIT: Und wie komme ich drauf, dass es ODER ist?


    Wie komme ich von der tabelle auf diese Bestimmungen? Was kann ich aus den plusen und minusen herauslesen`?

  2. #2
    Feldwebel
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    Du hast mögliche Vorzeichenwechsel bei -4, -3, 4 und 9, also den Nullstellen, zusätzlich kannst du natürlich weitergehen nach ±∞. Daraus ergeben sich dann schonmal die Intervalle, die du Untersuchen musst: [-∞,-4],[-4,-3],[-3,4],[4,9],[9,+∞].
    In der Tabelle sind jetzt einfach die Vorzeichen der einzelnen Terme (Zeilen) aufgetragen, die Nullstellen/Intervalle sind in der ersten Zeile markiert. Soll heißen die Spalte die oben zwischen der -4 und -3 steht gibt das Vorzeichen der Terme im Intervall [-4,-3] an. Die letzte Zeile ist das Produkt der Vorzeichen der Einzelterme, sind zum Beispiel im Intervall [-4,-3] alle Terme bis auf einen negativ hat der Gesamtterm das Vorzeichen (-1)*(-1)*(+1)*(-1) = -1.
    Sprich die letzte Zeile gibt dann einfach das Vorzeichen des Gesamtterm im jeweiligen Intervall an.

    Die Vorgabe ist ja, dass der Gesamtterm >= 0 ist, also positiv. Wie du in der Tabelle siehst, ist das im ersten Intervall [-∞,-4], im dritten [-3,4] und im fünften der Fall [9,+∞]. Das sind also deine Lösungen. Da sich die Intervalle nicht überlappen kann x nicht in allen Intervallen gleichzeitig sein, es ist entweder im ersten oder im zweiten oder im dritten.
    Geändert von Golan (10.03.2012 um 19:33 Uhr)

  3. #3
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    Danke, ich denke ich habs fast verstanden.

    So wären die anderen beiden Intervalle der Fall, wenn <=0 wäre. Richtig? Jenachdem, was die letzte Spalte angibt (positiv, negativ).

    Was ich da aber nach mehrmaligen lesen nicht verstanden habe, ist der Vorzeichenwechsel in den Intervalen, also das hier
    Zitat Zitat von Golan Beitrag anzeigen
    "In der Tabelle sind jetzt einfach die Vorzeichen der einzelnen Terme (Zeilen) aufgetragen, die Nullstellen/Intervalle sind in der ersten Zeile markiert. Soll heißen die Spalte die oben zwischen der -4 und -3 steht gibt das Vorzeichen der Terme im Intervall [-4,-3] an"
    Und wann weiß ich, dass es ein "(" oder ein "[" ist? Hat das was mit dem c > x bzw c=> x zu tun?

  4. #4
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    Genau, die Vorgabe >= 0 heißt du suchst nach Stellen mit Vorzeichen +, bei <= 0 müsstest du nach Stellen mit Vorzeichen - suchen.

    Vorzeichenwechsel heißt ja, dass du von + nach - oder umgekehrt wechselst. Für einen einfachen Term wie (x+5) ist das nur an seiner Nullstelle möglich, weil du ja vom positiven Bereich in den negativen wechselst (oder umgekehrt) und 0 genau die Grenze dazwischen ist. Da sich der Gesamtterm aus solchen einfachen Termen zusammensetzt, kann er auch nur sein Vorzeichen wechseln, wenn einer der einfachen Terme sein Vorzeichen wechselt. In den Intervallen zwischen den Nullstellen kann das nie passieren, also kannst du hier ein festes Vorzeichen bestimmen.

    "(" und "[" geben an, ob das Intervall an der Seite offen oder geschlossen ist - geschlossen "[" heißt, die Intervallgrenze gehört mit zum Intervall, offen "(" heißt, die Intervallgrenze gehört nicht zum Intervall. Die Seite, auf der das Zeichen steht, gibt an, für welche es gilt.
    (5,8] würde bedeuten, alle Zahlen größer als 5 sowie kleiner oder gleich 8. Also z.B. 5,1 , 6,5 , 7 und 8 liegen im Intervall, aber nicht die 5.

    Da +∞ und -∞ streng genommen keine Zahlen sind, ist ein Intervall ins Unendliche genau genommen immer offen - jede Zahl, die im Intervall liegt, ist von ihrem Betrag her kleiner als die Grenze ∞.
    Davon abgesehen muss bei einem Vorzeichenwechsel die exakte Position des Wechsels nicht unbedingt die geforderte Bedingung erfüllen. Wäre die Aufgabenstellung > 0 (anstatt >= 0) würden die Nullstellen automatisch aus der Lösungsmenge herausfallen, weil die Funktion hier eben genau 0, nicht größer oder kleiner 0 ist - die Lösungsintervalle wären dann an allen Nullstellen offen. In deinem Beispiel hier hat die Funktion an ±4 jeweils eine Polstelle, sprich ihr Wert und damit ihr Vorzeichen ist dort unbestimmt. Deshalb ist das Intervall [-3,4) nach rechts offen, weil alle Zahlen bis zur 4 aber nicht die 4 selbst die geforderte Bedingung erfüllen.

    Die Lösung
    x∊{(-∞ , -4) v [-3, 4) v [9, ∞)}
    heißt in Worten
    X ist im Bereich minus Unendlich bis -4, oder im Bereich -3 bis 4 einschließlich -3, oder im Bereich 9 bis Unendlich einschließlich 9.

  5. #5
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    Ach sorry, heute klappt es überhaupt nicht mit meiner Kommunikation. Bitte ärger dich nicht.

    Ich verstehe das mit den Intervallen. Ich weiß auch fast alles richtig zu interpretieren.

    Ich kann auch eine Fallunterscheidung mit Beträgen auf beiden Seiten lösen, kein problem. Und das x<3 z.B. ein offenes Intervall hat, da x größer als drei ist, ist mir auch klar.
    Wie sich da ein Minus und plus ergibt das weiß ich auch^^.

    Das wirklich neue und eigentlich fast wichtigste war, dass ich nicht wusste, weshalb x€ ( .... ) war. Selbst nach langem googlen nicht. Und das ich 5 geschlossene Intervalle untersuche wusste ich nicht, dafür bin ich dankbar.

    Aber komme ich durch die Zeichnung, die ich oben habe darauf ob das Intervall geschlossen oder offen ist?

    EDIT: kommt gleich noch was...

    Achja. Das mit den Vorzeichen, da hast du mich etwas verwirrt ( na gut, war schon alles richtig gesagt, ich habs falsch verstanden...). Die Frage ist, können sich die Nullstellen, also: 4, -4, +9, -3 im Ergebniss also x€ (... ) ändern? Oder habe ich das einfach falsch verstanden? Die Nullstellen bleiben die Nullstellen OHNE vorzeichen wechsel?
    Geändert von uNNa (10.03.2012 um 20:54 Uhr)

  6. #6
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    Wupps, da hab ich dich wohl echt falsch verstanden. ^^

    Die Tabelle alleine sagt dir das nicht, dafür musst du dir die eigentliche Funktion anschauen. Dass bei ±4 eine Polstelle ist, siehst du aus der Tabelle zum Beispiel nicht. Mit der Tabelle findest du die richtigen Intervalle und kannst sagen, ob sie zusammenhängend sind, das war's.

    Bei der neuen Frage bin ich mir nicht so ganz sicher, was du meinst. ^^
    Könntest du die umformulieren?

  7. #7
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    Die neue(vorherige) Frage hat sich erledigt, da ich aus anderen ähnlichen Aufgaben schon gesehen habe, dass es nicht der Fall ist .

    Ich habe aber eine neue! ;P

    Wann wäre es denn eine Und-verknüpfung zwischen diesen Intervallen? Ich meine, wäre es möglich wenn man so eine Tabelle aufstellen muss? In anderen ungleichungen entscheidet es ja immer dieses größerkleiner Zeichen, wie z.B. |y|<b ... könnte jetzt hier nicht auftreten, oder?

    Und was studierst du oder hast du studiert? Bestimmt Elektrotechnik richtung irgendwas allgemeines?^^

  8. #8
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    Und sollte im eindimensionalen in der Lösung nicht vorkommen, sind zwei Intervalle angrenzend packst du sie zusammen. Also [-3,5] und [2,8] würde [-3,8].
    |y|<b hätte z.B. die Lösung Teillösungen y∊{(-b,∞) ∧ (-∞,b)} also y∊(-b,b).

    Bin (fast fertiger...) Physiker.

  9. #9
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    Waschi!
    Sehr gut, somit bin ich jetzt für alle Ungleichungen, die bei uns vorkommen vorbeiretet! (na gut, ich mache mal vorsichtshalber noch welche, damit sich das besser einspeichert^^).
    EDIT: Falls eine UND-Verknüpfung die kleinse und größte Menge in der Lösung beherbergt z.B (unendlich, -unendlich), wenn x€(-unendlich, 5] ...........(20, unendlich) ?
    Yo, danke dir.

    Auf Physik komme ich in ein paar Monaten zu sprechen bzw. vielleicht noch in ein paar Tagen auf anderes Mathelastiges.

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