Ableiten - Kettenregel, x im Exponent | (Un)Gleichungen

[mope7]

Hilfe

Zu bestimmen sind die erste Ableitung und der maximale Definitionsbereich. Bei zweiteren hab ich absolut gar keinen Plan.

1)

g(x) = (11^x + 8x + 3)^10

da komm ich beim anwenden der Kettenregel nicht weiter

g = u(v(x))
g' = u'(v(x)) * v'(x)


also:

u(x) = v(x)^10
v(x) = 11^x + 8x + 3

u'(x) = 10*v(x)
v'(x) = keine Ahnung wegen dem X im Exponent. Muss ich hier den Log anwenden ?


----------------------------------

2)

f(x) = (x² - 3teWurzel aus x) : x⁷

-->

= (x² - 3teWx) * x^-7
= (x² - x^1/3) * x^-7
= (x^-5) - (x^-20/3) [Klammern sind nur der Übersichtlichkeit halber]

f'(x) = (-5x^-6) - (20/3x^17/3)

Stimmt wenigstens des ?



--------------------------------

3)

weiter zu den (Un)Gleichungen - hier sind die Lösungsmengen, bzw die Lösung anzugeben.

3a) (x) : (2x-1) <= -2 mit x Element R und x != 1/2

3b) 2*35^x-3 = 40*2^4x mit x Element R

3c) x - 1/x = 9.9 mit x > 0


bei 3c) kam ich immerhin schon dahin, dass ich den Bruch einfach umschreibe, also:

x - x^-1 = 9.9

joa.... nur hab ich jetzt wieder das Problem: Was tun ?

 

[blackplague]

also die u'(x) = 10*v(x) stimmt nicht ... dass is u'(x) = 10*v(x)^9

ich rechne gerade mal durch^^ bin zwar gerade aufgestanden aber mal sehn^^

die Summen musst du auf jeden Fall einzeln ableiten also fällt 3 weg und 8x wird zu x und bei der 11^x überleg ich gerade

angeblich is die Ableitung von 11^x ... 11^x log 11

dann würdest du nur noch die beiden Ketten multiplizieren also:

(10*(v)^9)*(8+11^x log11) => und dann v einsetzen => (10*(3+8x+11^x)^9*(8+11^x log 11)

wegen dem Definitonsbereich ka sowas haben wir net benutzt oder bei uns wars was anderes

-----------------------------------
2. guck ich gerade an edit kommt

also wenn das Produktregel sein soll da gehört nen + zwischen kein -
http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel

und die Ableitung von x^-7 is -7*x^-8 wenn ich jetzt nicht total schlafe^^
kann auch sein, dass du das da dort stehen hast aber irgendwie steig ich durch dein geschriebenes nicht durch^^

----------------------------------
ihh ungleichungen

 

[stefros]

2.) ist richtig Mopschä.

 

[mope7]

@back:

thx, dachte mir schon, dass da logarithmiert wird.

bei der 2) x^-7 wird ja gar nicht an sich abgeleitet, das wird ja noch mit dem anderen Term multipliziert. Die Stefmachine meint ja auch das wär richtig - juhu ^^

--->

(x² - 3teWx) * x^-7
--> dritte Wurzel aus x ist x hoch 1/3 --> (x² - x^1/3) * x^-7

jetzt multiplizier ich den Term in der Klammer mit x hoch minus 7 --> (x^-5) - (x^-20/30)

und das wird dann abgeleitet.


Definitionsbereich: Das ist einfach jede Zahl die in der Funktion eingesetzt auch Sinn macht - ums mal mit meinen Worten auszudrücken

Also bei ner Wurzelfunktion z.b. alle Reelen Zahlen für die x nicht 0 wird.

Aber da muss es doch irgendeinen Kunstgriff geben. Ich kann doch jetzt z.b. bei 2) nicht einfach auf gut lück mal zahlen einsetzen

Bei Produkten gehts ja noch, da schau ich einfach nach dem x, guck wann das Null wird und schließ das somit aus, aber das is ja ne Summe °_°


edit: hm... bei 2) kam mir grad nen Gedanke:

Erstmal D=R
Jetzt schau ich wann der Nenner 0 wird.
x^-7 --> wenn ich für x = 0 einsetze.
Also darf x schonmal nicht 0 sein.

Jetzt schau ich mir den Zähler an.
Für Wurzeln ist sowieso nur R+ definiert.
Für x² kann ich ebenso alles einsetzen außer Null.

Also wäre D=R+ mit x != 0

 

[stefros]

Naja, was ist bei einem Reellen Wertebereich üblicherweise nicht im Definitionsbereich enthalten?

- Zahlen mit denen man durch Null teilen würde
- negative Zahlen unter einer Wurzel

Danach musst du nur suchen und diese Bereiche dann ausschliessen.

 

[Osbes]

Für Wurzeln ist sowieso nur R+ definiert.

Sei b ein Element von R und n ein Element der natürlichen Zahlen dann gibt es eine
nte-Wurzel(b) = a
genau dann, wenn es ein a gibt mit
a^n = b
und a Element von R

Und für deinen Fall:
0^n = 0
Und somit ist
nte-Wurzel(0) = 0

(2*n-1)te-Wurzel(-1) = -1
Es geht nur bei geraden Wurzeln nicht.

Für gerade Wurzeln ist also R+ und 0 definiert.
Für ungerade Wurzeln ist ganz R definiert.

Für x² kann ich ebenso alles einsetzen außer Null.

Und ebenso ist 0^2 = 0 * 0 = 0



Um den Definitionsbereich sinnvoll anzugeben müsste man eigentlich zuvor sagen von welcher Menge in welche abgebildet wird, sonst sind Aussagen über den Definitionsbreich nicht wohl definiert.

Wenn du z.b. nur von den natürlichen Zahlen in die reelen Zahlen abbildest, dann hast du natrlich einen anderen Definitionsbereich, als wenn du von den reelen Zahlen in die reelen Zahlen abbildest.

Man würde z.B. schreiben

g: R -> R
x |-> (11^x + 8x + 3)^10

oder

g: R -> R
g(x) := (11^x + 8x + 3)^10

Dann ist durch die erste Angabe bestimmt von wo nach wo abgebildet wird.


Warscheinlich meint ihr aber mit dem max. Definitionsbereich den natürlichen Definitionsbereich, welcher sich auf R bezieht, also Abbildungen von R nach R betrachtet.
Dann ist dein bisheriges Vorgehen auch sinnvoll.

 

[mope7]

:thx Osbes


wagt sich irgendwer an die (Un)gleichungen ?

edit: ah, bei der ersten Ungleichung muss ich afaik ne Fallunterscheidung machen. Versuch ich nacher mal ^


öhm.. ok...

also für:

(x) : (2x-1) <= -2 mit x Element R und x != 1/2

Fall 1: (2x-1) >= 0

x (2x -1) <= -2 (2x-1)

2x² - x <= -4x + 2

2x² + 3x <= 2

und nun ? O_o

Fall 2 kommt ja quasi aufs selbe hinaus mit umgedrehten Zeichen.

 

[stefros]

Fall 1: (2x-1) >= 0

x (2x -1) <= -2 (2x-1)

Jo, da muss man nur umformen und auf Fälle achten.

 

[mope7]

äh... ja.. und was willst du mir damit jetzt sagen ?

 

[Osbes]

Du könntest an dieser Stelle durch (2x-1) teilen

 

[mope7]

ich hab doch erst mit (2x-1) mal genommen O_o

wobei ich da dann irgendwie gerade den Fehler sehe....

x : (2x-1) mit (2x-1) zu multiplizieren führt ja eher zu x als zu x (2x -1)....


------------


also von vorne:


x : (2x-1) <= -2 mit x Element R und x != 1/2

x >= -2 (2x-1)
x >= -4x + 2
5x >= 2
x >= 2/5

x <= -2x (2x-1)
x <= -4x + 2
5x <= 2
x <= 2/5

sorry, hatte die Fälle durcheinander gebracht. Normalerweise ist Fall 1 ja positiv

Anyway, damit hätte ich die Lösungsmenge von 2/5 oder ?

Beim Einsetzen würde das auch stimmen nach meiner Rechnung







----------------

nächste Aufgabe:

3c) x - 1/x = 9.9 mit x > 0

--> x - x^-1 = 9,9

x hoch minus 1 ist nix anderes als -x also:

x - (-x) = 9,9
x + x = 9,9
2x = 9,9
x = 4,95

stimmt das oder mach ichs mir zu einfach ?


------------------------

nächste Aufgabe:

3b) 2*35^x-3 = 40*2^4x mit x Element R

--> 70^x-3 = 80^4x
ln70 * (x-3) = ln80 * 4x

hm... wie mach ich nu weiter ? ln ausrechnen lassen ? da kommen mir irgendwie zu viele Kommastellen

 

[huxl]

x^-1 ist nichts anderes als 1/x aber sehr wohl was anderes als -x
musst das ganze einfach mit x multiplizieren, dann wirds quadratisch.

die 3b ist auch falsch, falls du nicht ein paar klammern vergessen hast.
logerithmus ist schon richtig, aber du darfst die basis des exponenten nicht einfach mit dem faktor davor multiplizieren.

 

[mope7]

boing, ja, da hat mein Gehirn nen Knoten gemacht

also nochmal:

x - 1/x = 9.9 mit x > 0 |-9,9; *x

x² - 9,9x -1 --> pq Fomel

x1 = 10
x2 = -1/10

da x größer als 0 sein muss ist die Lösung x = 10

Probe stimmt auch. Juhu ^^ Yeah ^^

Deswegen ist mir Mathe ein Grauß, mein Gehirn checkt einfach nicht sowas zu sehen

jetzte brauch ich nur noch Hilfe bei der letzten Aufgabe, der 3b

edit: ok Huxl, wie muss ich denn dann vorgehen ? (Log is bei mir sonne Sache da tu ich mich auch SEHR schwer
Also die Aufgabe steht so wie ich sie abgeschrieben hab. Ich muss logarithmieren. Soweit bin ich. Nur wie mach ich des nu richtig ?
edit2: sorry ich hab dich falsch verstanden. Also ich muss den Faktor stehen lassen, der Rest des Log ist aber richtig ?
also: 2 * ln35 * (x-3) = 40 * ln2 * 4x

 

[huxl]

wenn du logarithmierst, musst du alles logarithmieren. genau wie bei muliplizieren oder exponieren.
danach einfach die logarithmengesetze anwenden:

2*35^x-3 = 40*2^4x mit x Element R
ln(2*35^x-3) = ln(40*2^4x)
ln(2)+ln(35^x-3) = ln(40)+ln(2^4x)
ln(2)+(x-3)*ln(35) = ln(40)+4x*ln(2)

jetzt kannst es wie ne lineare gleichung lösen.

viel spaß noch und gute nacht

 

[mope7]

das hat mir auf jeden Fall fürs Verständnis SEHR geholfen, aber ich blicks immer noch nicht wie ich weitermachen muss :/
Wie man Gleichungen auflöst ist mir bekannt, aber wie fang ich denn da an ?

ich hät jetzt z.b. aus dem Ln(40) ein Ln2 + Ln20 gemacht und die ganze Gleichung dann -Ln(2) gerechnet. Aber das bringt mir dann irgendwie doch nicht besonders viel :/

ICh fühl mich so dumm grad -.-

 

[stefros]

Das bringt doch einiges. ^^
Aber keine Angst vor den ln(x)en, das sind im Endeffekt auch bloß Zahlen.
Am Ende gehts ja immer nur drum das x zu isolieren. Also alles was x enthält nach links und den Rest nach rechts bringen. Der Rest frühstückt sich dann von ganz alleine.

 

[baracuda]

Die Rechenregel für loga(u*v) lautet loga(u) + loga(v)
vllt kannste damit was anfangen indem du:

2*35^x-3 = 40*2^4x | lg()
<=> lg(2*35^x-3) = lg(40*2^4x)
<=> lg(2) + lg(35^x-3) = lg(40) + lg(2^4x)

und jetz damit weiter rechnen, der Zehnerlogarithmus dürfte ja nicht schwer sein

Mist zu spät

 

[mope7]

hm... also, schlagt mich, aber ich habs jetzt einfach händisch ausgerechnet und komm auf x = 3,431687821 ... was irgendwie unelegant ist

2*35^x-3 = 40*2^4x | lg()
<=> lg(2*35^x-3) = lg(40*2^4x)
<=> lg(2) + lg(35^x-3) = lg(40) + lg(2^4x)

das hattest du ja schon oben geschrieben und dann noch nen Schritt weiter, was ich auch verstehe

ln(2)+(x-3)*ln(35) = ln(40)+4x*ln(2)

ich hab mir das ganze jetzt einfach so auseinandergefriemelt:

ln(2) + x*ln(35) - 3(Ln35) = Ln(40) + 4*Ln(2) * x

Und das dann einfach alles händisch ausgerechnet

x*ln(35) - 9,972897004 = 6,461468176x

etc...

gut, ich nehme an, da ich ja x isolieren soll und alles auf die eine Seite und alles auf die andere Seite, dass ich denne einfach mal die normalen Loggesetze anwende ? (Die Huxl ja auch nochma aufgeschrieben hat, bzw eines davon )

aaaaaaaaaalso


ln(2) + x*ln(35) - 3(Ln35) = Ln(40) + 4*Ln(2) * x

ööööh....

ich nehm mir jetzt einfach mal ln(2) und -3Ln(35) vor.
--> -3Ln(2/35) ?

hm... ka

 

[huxl]

ka, was genau du da gemacht hast, aber sah falsch aus

musst einfach nur nach x auflösen jetzt:

ln(2)+(x-3)*ln(35) = ln(40)+4x*ln(2)
ln(2)+x*ln(35)-3*ln(35) = ln(40)+4x*ln(2)
x*ln(35)-x*4*ln(2) = ln(40)+3*ln(35)
x*(ln(35)-4*ln(2)) = ln(40)+3*ln(35)
x = (ln(40)+3*ln(35)) / (ln(35)-4*ln(2))

keine garantie für fehlende rechenfehler.

 

[mope7]

achso, so easy geht das

nochmals vielen lieben Dank, hats mir sehr geholfen